Semaine 5 : Exercices sur les figures

Martin ne se souvient plus des dimensions de son champ rectangulaire, il ne se rappelle plus que : 
- sa longueur L est le double de sa largeur l . 
- son périmètre est de 300 m 

Quel est la superficie en are du terrain de Martin ? 

50 a

L = Longueur du rectangle 
l = largeur du rectangle
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Etape 1 : On va calculer la longueur des côtés du terrain 

On sait que : 
L = 2 x l 

Périmètre = 300 m 
Périmètre d'un rectangle = l + L + l + L
                                    = 2 x L  +   2x l 
                                    = 2 x 2 x l  + 2 x l 
                                    = 4 x l  + 2 x l 
                                    = 6 x l 

d'où    6 x l = 300 
          6 : 6 x l = 300 : 6 
          l = 50 m 

Donc L = 2 x l
        L = 2 x 50
        L = 100 m 


Etape 2 : On va calculer la superfice (= aire) du terrain. 

Aire (du rectangle) = l x L 
                            = 50 x 100 
                            = 5 000 m² 


Etape 3 : Convertire 5 000m² en are (a).

1 a  = 100 m²
?  a = 5 000 m²     (il faut multiplier la ligne précédente par 50)

D'où 50 a = 5 000 m² 

remarque : vous pouvez aussi utliser l'abque pour répondre à cette question

Etape 4 : Conclusion 

La superficie du terrain de Martin est de 50 a. 
 

Un bassin rectangulaire a un périmètre de 120 m. 
Sa longeur mesure  1 000 cm de plus que sa largeur. 

Quelle est l'aire de ce terrain en are ? 

8,75 a

l = largeur 
L = Longueur 
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Etape 1 : Définir les longueur du terrain 

Périmétre du terrain (rectangle) = 2 x L + 2x l 
                                               =  120 m  (énoncé) 

On sait que :    L = l + 10     (énoncé)

On remplace dans la formule du périmètre. 
Périmétre = 2 x L + 2 x l 
               = 2 x (l + 10)  + 2 x l 
               = 2x l + 2x10  + 2x l 
               = 2 xl  + 20 + 2xl 
               = 20 + 4 x l


On sait que le périmètre vaut 120 m 
D'où         20 + 4 x l = 120 
         20 -20 + 4 x l = 120 - 20
                        4 x l = 100 
                   4 : 4 x l = 100 : 4 
                             l = 25 m



On peut maintenant calculer la Longueur (L = l + 10)
L = 25 + 10 
L= 35 m


Etape 2 : Calculons l'aire 
Aire = l x L 
      = 25 x 35 
      = 875 m²
 

Etape 3 : Convertir les 750m² en are (a). 

750 m² = 8,75 a

Etape 4 : Conclure 
La superficie du terrain est de 8,75 a                     
                        
        
                                           

Le périmètre d'un quadrilatère ABCD mesure 27 cm. 

On sait que : 
AB = 80 mm 
BC = 60 mm 
CD = 70 mm

Calcule la longueur DA. 

6 cm  ou  60 mm 

Soit on travaille en cm ou soit en mm. 
J'ai préféré travailler avec des nombres plus petits donc en cm. 

AB = 80 mm = 8 cm 
BC = 60 mm = 6 cm 
CD = 70 mm = 7 cm
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Le périmètre = la somme des longeurs des côtés.

Périmètre (quadrilatère) = [AB] + [BC] + [CD] + [DA]
                                    =  8  + 6 + 7 + [DA]
                                    = 21 + [DA] 


On sait que le périmètre = 27 cm 
Donc    21 + [DA]  = 27 
           21 - 21 + [DA]  = 27 - 21 
               [DA] = 6 cm 

Soit un carré dont l'aire est égale à 25 m². 

Si on double les côtés, quel sera l'aire de ce carré ? 

100 m² 

Aire d'un carré : c x c 

Si on double les côtés du carré, la longueur des côtés sera 2xc 
alors l'aire sera :  2xc x 2xc = 4 x c x c
                                          = 4 x l'aire du carré de départ


Donc si on double les côtés d'un carré d'aire 25 m² . 
L'aire avec les côtés doublés sera de 100 m² 

Remarque : Vous pouvez représenter un carré dont vous doublez (x2) les côtés. Vous verrez apparaître 4 carrés. 
On retrouve bien : 4 x l'aire du carré. 

Soit un carré dont l'aire est égale à 64 m². 

Si on triple les côtés, quel sera l'aire de ce carré ? 

576 m² 

Aire d'un carré : c x c 

Si on double les côtés du carré, la longueur des côtés sera 2xc 
alors l'aire sera :  3xc x 3xc = 9 x c x c
                                          = 9 x l'aire du carré de départ


Donc si on double les côtés d'un carré d'aire 64 m² . 
L'aire avec les côtés doublés sera de 576 m² 

Remarque : Vous pouvez représenter un carré dont vous triplez (x3) les côtés. Vous verrez apparaître 9 carrés. 
On retrouve bien : 9 x l'aire du carré. 

Calcule le périmète d'un carré dont le côté a même longueur que celui d'un triangle équilatéral de périmètre 18 cm. 

24 cm 

Un triangle équilatérale a 3 côtés de mêmes longueurs. 

Le périmètre d'un triangle équilatérale : 3 x c 
On sait que 3 x c = 18 cm 
           d'où  c = 6 cm                       (on a divisé par 3) 

Maintenant qu'on connait la longueur du côté du triangle équilatérale, on connait celui du carré. 
  

Le périmètre du carré est 4 x c = 4 x 6 = 24 cm 

Je suis un quadrilatère . 
Mes diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. 

Qui suis-je ? 

un losange

"Je suis un quadrilatère" ==> 4 côtés.  

"Mes diagonales sont perpendiculaires" ==> C'est donc soit un carré soit un losange

"et se coupent en leur milieu." ==> cela correspond également au carré ou au losange. 

Or pour que ce soit un carré, il faut préciser que la longueur des diagonales sont de mêmes longueurs (isométriques). 

Donc c'est un losange. 

Peut-on résoudre ces problèmes ? Si oui, réalise le problème, sinon indique la/les donnée/s manquante/s. 

a) Un rectangle a une longueur de 10 m . Quel est son périmètre ?

B) Un carré a un côté de 4 cm . Quelle est son aire ? 

a) Il manque la mesure de la largeur du rectangle. 


b) 16 cm²

a) Périmètre d'un rectange = 2 x l  + 2 x L 
nous connaissons la Longueur (L) mais pas la largeur (l).
Nous ne pouvons pas résoudre ce problème car nous ne connaissains pas la largeur.  


b) L'aire d'un carré = c x c 
On connait la mesure du côté (c), donc nous pouvons résoudre ce problème. 

L'aire = 4 x 4 = 16 cm² 

"Un carré c'est aussi un losange" dit Hélène, 
"mais non, c'est le losange qui est aussi un carré" lui répond Antoine. 

Qui a tort, qui a raison ? Explique ta réponse. 

C'est Hélène qui a raison. 

Un carré est un losange particulier dont les angles sont droits (90°). 
On peut facilement trouver un contre-exemple pour la proposition d'Antoine, il suffit de prendre un losange dont les angles ne sont pas droits pour prouver que tous les losanges ne sont pas des carrés. 

Définition des figures

Losange : quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur.
Les angles ne sont pas forcément droits.

Carré : quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur et dont les angles sont droits.

Un fermier dispose d'un rouleau de 72 m de grillage pour construire un
enclos. 
Il doit choisir entre deux enclos : 

- un enclos rectangulaire dont la longueur vaudrait 2 fois la largeur.

- un enclos carré. 

Le fermier décide de choisir l'enclos dont l'aire est la plus grande Lequel doit-il choisir ? 

324 m² > 288 m² 
aire enclos 2 > aire enclos 1 

Le fermier doit choisir l'enclos 2 . 

Enclos 1 (rectangulaire)

L = Longueur       l = largeur 

On veut : L = 2 x l 
               Périmètre = 72 m 


On sait que : Périmétre du rectangle = 2 x l  + 2 x L 
                                                     = 2 x l  + 2 x 2 x l 
                                                      = 2 x l + 4 x l 
                                                     = 6 x l 

Or        6 x l = 72 
     6 : 6 x l  = 72 : 6
                l = 12 m 

d'où L = 2 x l = 2 x 12 = 24
       L = 24 m 

Pour l'enclos 1, il faudrait que la largeur fasse 12 m et la longueur 24 m pour utliser l'ensemble du grillage. 

L'aire enclos 1 = 12 x 24 = 288 m²

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Enclos 2 (carré)

Périmètre du carré = 4 x c

On a sait que  :    4 x c = 72   (énoncé) 

d'où  c x 4 : 4 = 72 : 4 
                   c = 18 m

Aire enclos 2 = 18 x 18 = 324 m²

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Comparaison des aires 


324 m² > 288 m² 
aire enclos 2 > aire enclos 1 

Le fermier doit choisir l'enclos 2 . 

Soit ABCD un carré et O le point d'intersection des diagonales. 

Quelle est la nature du triangle ABO ? 

Le triange ABO est un triangle isocèle rectangle en O. 

Vous pouvez réaliser la figure. 

Par définition, les diagonales d'un carré sont: 
- Perpendiculaires 
- Se coupent en leur milieu 
- De même longueur


On a donc : 
un angle droit en O. 
AO = BO 

D'où ABO est un triangle isocèle rectangle. 

Le garage de Monsieur Legrand a une longueur de 8,62 m. 
Il veut laisser un intervalle de 20 cm entre la première voiture et le mur du fond, entre les 2 voitures et entre la 2eme voiture et la porte du garages. 


Peut-il y ranger ses deux voitures qui mesurent 4,53 m et 345 cm  ? 

oui

Il veut faire 3 intervelles de 20 cm soit 3 x 20 = 60 cm = 0,6 m



Voiture 1 = 4,53 m 
Voiture 2 = 345 cm = 3,45 m  

voiture 1 + voiture 2 + 3 intervalles = 4,53 + 3,45 + 0,6 
                                                     = 8,58 m 


8,58 m  < 8,62 m

Oui, il pourra donc y ranger ses deux voitures. 

Une chèvre est attachée à un piquet par une corde de 2 m de long. 

Calcule la longueur du cercle au centième près que la chèvre peut parcourir en tournant autour de son piquet. 

12,56 m

Le rayon (r) du cercle est formé par la longueur de la corde. 

Périmètre du cercle = 2 x r x 𝜋  
                             = 2 x 2 x 𝜋 
                             = 4 x 𝜋                    (on prend  𝜋 = 3,14)
                             = 12,56 m                 (environ)